Некоммерческое
партнерство
инженеров
Инженеры по отоплению, вентиляции, кондиционированию воздуха, теплоснабжению и строительной теплофизике
(495) 984-99-72 НП "АВОК"

(495) 621-80-48 Секретарь (тел./факс) ООО ИИП "АВОК-ПРЕСС"
(495) 107-91-50

АВОК ассоциированный
член

Инвестиционная оптимизация технических систем с непрерывно изменяемыми параметрами при проектировании

В различных технических системах часто приходится определять оптимальные значения одного или нескольких параметров, которые бы обеспечивали минимальные затраты на создание и эксплуатацию этих систем. Предлагаем универсальное решение оптимизации таких систем на примере линий электропередач.

Постановка вопроса

Классической задачей по обеспечению минимальных затрат при создании и эксплуатации линий электропередач (ЛЭП) напряжением свыше 1000 В является, например, поиск экономически целесообразной площади сечения провода данной ЛЭП [1]. Аналогичная задача решается и при поиске оптимальной толщины утепляющего слоя стен зданий. Традиционно применяемая здесь целевая функция (ЦФ) приведенных затрат З имеет вид (1).

На рис. 1 показаны зависимости двух составляющих приведенных затрат в функции сечения провода x, а также график суммарных приведенных затрат З = f (F). Последняя зависимость для ЦФ вида (1) – сумма ординат линейно-возрастающей составляющей и гиперболической – обладает примечательной особенностью, названной в литературе законом Кельвина. Последний постулирует [2], что в точке минимума Зmin с абсциссой Хопт имеет место пересечение составляющих затрат КЕ и С, следовательно, в точке оптимума затраты на провод (инвестиционная составляющая) равны затратам на потери электроэнергии в линии (эксплуатационная составляющая) (2), поэтому можно записать формулу в виде (3). Позже, в числовом примере, мы будем основываться на этих соотношениях.

Затраты на провод линии электропередач и их составляющие

Рисунок 1.

Затраты на провод линии электропередач и их составляющие

В плановой экономике показатель Е нормировался, и его значение соответствовало обычно применяемому нормативному сроку окупаемости Тн = 8 лет дополнительных инвестиций (при тотальном планировании других видов инвестиций не могло быть по определению) (4).

И сейчас для государственных дополнительных инвестиций используются также нормативные сроки окупаемости Ток, которые подлежат, однако, расчету с учетом дисконтирования получаемых дополнительных доходов. При этом нормативный показатель Енд рассчитывается [3–6] по формуле (5).

Возникает вопрос: как рассчитывать нормативный показатель Е в рассматриваемой непрерывной задаче, если, согласно выводам работы [3], критерием эффективности инвестиций целесообразно назначать не какой-то срок их окупаемости Ток, а заданную рентабельность инвестиций, то есть индекс их доходности [ИД].

Обозначения в формулах

А – обобщенная константа, характеризующая потери электроэнергии в линии на нагрев в зависимости от материала провода, проходящего тока линии и др.
Е – некоторый нормативный коэффициент (показатель)
Ен – прежний нормативный показатель (плановая экономика)
Енд – нормативно-дисконтный показатель
g – множитель для сечения проводов
b– стоимость 1 кВт•ч электроэнергии, руб.
к – удельная стоимость 1 мм2 линии, руб.
r – средняя норма дисконта за срок службы инвестиционного оборудования или материалов
t – время, годы
Т – срок службы инвестиционного оборудования или материалов, годы
Т0 – бездисконтный срок окупаемости, годы
Тн – нормативный бездисконтный срок окупаемости, годы
Ток – нормативный срок окупаемости с учетом дисконта будущих доходов, годы
x – площадь сечения провода линий электропередач, мм2
Д – средний ежегодный доход, возникающий за счет инвестиций в оборудование или материалы, руб./год. Для инвестиций в энергосберегающие мероприятия – средняя величина ежегодного снижения эксплуатационных издержек
ДД – общий (суммарный) дисконтированный доход, руб.
ИД – индекс доходности инвестиций
З – приведенные затраты, руб.
К – единовременные капитальные вложения (физические инвестиции) в оборудование или материалы, руб.
С – годовые производственные затраты, руб./год
ЧДД – чистый дисконтированный доход, руб.

Рассмотрим потоковую диаграмму инвестиционного процесса на протяжении Т = 25 лет (рис. 2), отражающую рост дохода от «последней порции» (ПП) инвестиций в параметр х стоимостью ΔК = 1. Здесь прямая 1 отражает бездисконтный рост эффективности ПП, что отвечает коэффициенту (4) плановой экономики для решения самых разнообразных непрерывных задач с различными ЦФ. Кривая 2 описывает рост дисконтированных доходов при r = 0,16 (16%) и том же заданном сроке окупаемости Ток = 8 лет. При этом согласно (5) Енд = 0,23. Кривая 3 отвечает заданному [ИД] = 1, ее построение рассмотрено ниже.

Кривая дисконтированного дохода ДД(t) (2 или 3), которая предопределяет выгодность инвестиционного предприятия, зависит от двух экономических показателей:

1) начальный наклон d(ДД)/dt|t = 0, определяемый номинальной величиной дохода Д (в расчете на момент инвестиций t = 0) или бездисконтным сроком окупаемости Т0 = К/Д;

2) расчетная величина нормы дисконтирования r [4].

Значения основных критериев эффективности инвестиций ΔК (общий дисконтированный доход ДД, чистый дисконтированный доход ЧДД и индекс доходности ИД = ЧДД / / ΔК) определяются по указанным выше двум параметрам с использованием соответствующих формул [3–6].

В рыночной экономике, при наличии экзогенной переменной r, приходится к ней приспосабливаться, чтобы обеспечить необходимую эффективность инвестиций К. В бизнесе дело обстоит проще: если при заданных Д и r выгодность проекта не устраивает инвестора, рассматриваются иные варианты использования денежных средств. В государственных вложениях иначе: приходится выбирать варианты в рамках планового объекта, сопоставляя по эффективности дополнительные инвестиции при парных сравнениях вариантов строительства и отбраковке «проигравших».

Если вернуться к рассмотренной выше задаче с непрерывными инвестициями, то это, например, означает следующее: нужно обязательно строить линию электропередачи или здание с утепляющим слоем, но какое взять сечение провода и какую толщину утеплителя, заранее неизвестно, и эти величины нужно обосновать. Сейчас таким критерием служит, как уже сказано, срок окупаемости Ток. Но этот критерий также обладает недостатком, и в [3] об этом говорится. Наглядно это легко представить, рассчитав в общем виде ИД для некоторого инвестиционного процесса, для которого в качестве критерия эффективности задан некоторый срок окупаемости Ток для ПП инвестиций К. В известной [5] формуле (6) выразим Т0 через Ток посредством другого известного [4] соотношения (7). В результате имеем (8), что после подстановки в (5) после элементарных преобразований дает (9).

Так, для кривой 2 на рис. 2 индекс доходности, рассчитанный по формуле (9), равен 0,4, что явно недостаточно. На рис. 3 представлены зависимости (9) от r, Ток и Т = 15 лет. Отсюда следует, что нормативный срок Ток = 8 лет вообще не имеет смысла применять в расчетах эффективности государственных инвестиций ввиду малой доходности их «последней порции» (ИД < 0,5). Срок окупаемости в 5 лет допустимо применять при r < 0,15 (15%), то есть при достижении экономикой страны установившихся темпов качественного роста. В ближайшие же годы нужно ориентироваться на Ток = 3 года. Это первый практически значимый результат анализа.

Диаграммы денежных потоков для «последней порции» инвестиций

Рисунок 2.

Диаграммы денежных потоков для «последней порции» инвестиций

Расчетный алгоритм применения индекса доходности в качестве нормативного показателя

Рассмотрим величину ИД для инвестиций DК (рис. 2) в качестве независимой переменной, значение которой [ИД] следует задавать в качестве норматива, обеспечивающего достаточную доходность ПП инвестиций. Для использования целевой функции (1) в такой постановке, необходимо найти зависимость нового показателя Е (обозначим его Еид) от величины [ИД].

Это нетрудно сделать. Удорожание DК оправданно, если, согласно (6), выполняется неравенство (10) или (11).

Пусть стоимость ПП оптимизируемого параметра x равна DК = Кn+1Кn (n – общее количество порций до оптимизации) и оправдана снижением DС = СnСn+1 производственных затрат согласно (11). Эти величины участвуют в (11) своим соотношением – величиной бездисконтного срока окупаемости Т0 удорожания К, поэтому (11) можно записать так (12). Отсюда, сосредоточив слева и справа величины, относящиеся к n~ и n~ + 1 порциям, нетрудно получить выражение для минимизируемой ЦФ (1) в виде (13).

Сформировалась, как видим, новая форма коэффициента приведения Еид (14), зависящего от заданного индекса доходности [ИД] и нормы дисконта (рис. 4). Нетрудно убедиться в том, что при ИД ≥ 1 реально всегда выполняется неравенство (15). Поскольку эти коэффициенты, согласно (1), действуют в сторону увеличения стоимости инвестиций, соотношения (15) повышают экономическую надежность вложенных средств за счет рационального снижения инвестиций вообще и инвестиций в параметр х в непрерывных задачах.

Отметим и то, что экономическое содержание рассмотренной задачи с непрерывными инвестициями по п. 3 (см. выше) значительно богаче, чем инвестиционные задачи с неделимостями. Условия минимизации (16) затрат (1) задают, по сути дела, «правила остановки» при наращении инвестиций в параметр х отдельными порциями, и заданное значение [ИД] относится к «последней порции» вкладываемого таким образом капитала.

Целесообразно напомнить, что основополагающие упрощенные расчетные формулы (6) и (7), полученные в [5, 6] на основе доказанной возможности усреднять перспективные значения величин r и Д на интервале Т работы инвестиционного оборудования, позволили сформировать довольно перспективную модель потокового инвестиционного процесса (рис. 2). Условие допустимости такого упрощения определяется ограничением диапазона изменения данных величин половиной их максимальных значений [5]. Данное обстоятельство явилось методической основой для дальнейших исследований [3, 4].

Зависимость индекса доходности инвестиций от нормы дисконта и нормативного срока их окупаемости

Рисунок 3.

Зависимость индекса доходности инвестиций от нормы дисконта и нормативного срока их окупаемости

Оптимизация функции Кельвина методом ИД

Проиллюстрируем методику применения критерия ИД на примере оценки экономического состояния существующей сети линий электропередач страны напряжением выше 1000 В с позиции целевой функции (1). Минимизация (1) заключается в дифференцировании (1) по искомым переменным x и приравнивании к нулю полученных уравнений (16). Отсюда следует сепарабельность решения для каждой линии в отдельности [2, 4, 5] (17).

Подстановка (17) в (1) приводит к минимальному значению приведенных затрат в виде закона Кельвина (3) и для каждой в отдельности ВЛ, и для всего их множества в целом. Экономически решать данную проблему можно двумя способами:

  • изучать соотношение современного уровня цен к и b в (17) и назначать значение экономического коэффициента Е;
  • заниматься анализом соотношения (3).

Первый подход изложен в [7, 8, 9]. Далее рассмотрим второй подход с использованием статистических данных по расходу проводникового алюминия в энергосистемах страны и потерям электроэнергии [10]. Эти два пути анализа приводят к одинаковому результату.

Прежде всего, нужно сравнить приведенную стоимость всего провод-никового алюминия со стоимостью годовых потерь электроэнергии в рассматриваемых сетях, которые, согласно закону Кельвина, в оптимальном состоянии должны быть одинаковы. Мера неодинаковости, во‑первых, обнаружит степень отклонения от оптимума, во‑вторых, укажет на направление корректировки системы.

Необходимая для анализа статистика по длинам и сечениям проводов всех указанных ВЛ взята из [10]. Суммарная протяженность ВЛ напряжением 6–35, 110–1150 кВ в одноцепном исчислении – порядка 2 млн км. Задаваясь усредненной величиной сечений для линий разного класса напряжения и удельной плотностью алюминия, получаем ориентировочный его вес на три фазы около 2 млн т.
При цене алюминия на уровне 4500 долл. США за 1 т (современные котировки) суммарная стоимость проводов составит К≈9 млрд долл. США. Годовые потери электроэнергии в указанных линиях порядка 10% от суммарного годового электропотребления W≈1000 млрд кВт•ч, то есть DW≈100 млрд кВт•ч.
Соответствующая стоимость потерь С определялась исходя из стоимости b≈0,2 долл. США/кВт•ч при внутренней цене на газ, приблизительно равной среднемировой [8, 9]. В результате приведенные затраты составляют (18). Расчет ведем в долларах США ввиду того, что в стране пока не установился ценовой паритет свободного рынка между металлами, углеводородами и электроэнергией.

Рассматриваемые сечения всего множества ВЛ энергосистем когда-то рассчитывались в плановой экономике по государственным ценам 1950‑х и 1960‑х годов. Ценовая структура на первичные и вторичные энергоносители (электроэнергию) и цветные металлы тогда соответствовала эпохе дешевого топлива и совершенно не была похожей на сложившуюся после энергетического кризиса 1973 года структуру. Этим во многом и можно объяснить то, что при подстановке в (18) значения Ен = 0,125 получаем соотношение между составляющими затрат, далекое от их равенства и свидетельствующее о прежней дороговизне металлов по сравнению с электроэнергией. Выясним, каким образом следует нормализовать данное соотношение. Очевидно, речь идет о постепенном наращивании сечений проводов, по мере плановых реконструкций и строительства новых линий. Во сколько раз целесообразно наращивать сечения (обозначим множителем g соответствующий рост) – это и определяет критерий ИД эффективности предельных инвестиций. Очевидно, что потери будут снижаться также в g раз.

Таблица
Значения составляющих затрат при различных формах приведения
инвестиций К в процессе минимизации затрат
  Еi КЕi З0 = К Еi + С g Зmin = (К Еi) g + С/g
Ен 0,13 1,2 1,2 + 20,0 = 21,2 4,0 4,8 + 5,0 = 9,8
Енд 0,23 2,1 2,1 + 20,0 = 22,1 3,1 6,5 + 6,4 = 12,9
Еид 0,33 3,0 2,8 + 20,0 = 22,8 2,7 7,6 + 7,4 = 15,0

В таблице приведены значения двух составляющих затрат (и затрат в целом) при трех рассмотренных выше видах коэффициента приведения Е и для двух состояний энергосистем страны: для текущего и с учетом возможной корректировки согласно критерию (3). В качестве исходных данных, влияющих на предельную эффективность инвестиций, приняты следующие значения: Тн = 8 лет (без дисконта и с его учетом); Т = 25 лет; r = 0,16; ИД = 1.

В соответствии с полученными результатами делаем следующие выводы. Все три методики позволяют найти минимум приведенных затрат (1) при «своем» коэффициенте приведения Е. Но абсолютные величины Зmin не несут значимого экономического смысла. Более того, они способны вводить в заблуждения, поскольку минимум-миниморум относится к методу плановой экономики, что совершенно противоречит реальности. Попутно делаем следующий немаловажный вывод по поводу той роли, которую играют приведенные затраты (1): они способны лишь формально, в качестве математического инструмента, приводить к оптимальному решению в рамках критерия экономической оптимальности инвестиций. И если такой критерий неудачен (как это и было с бездисконтным сроком окупаемости в плановой экономике), то абсолютное значение Зmin несет ложную информацию [3].

Как же следует интерпретировать полученные результаты? Прежде всего, метод ИД направлен на осторожное наращивание капиталовложений в металл проводов, увеличение его по сравнению с текущим состоянием всего
в g = 2,7 раза и снижение во столько же раз потери электроэнергии в линиях. Метод Ток указал на целесообразность увеличения сечения в g = 3,1 раза, но при индексе доходности ПП ≈ 0,4 (рис. 2). И совсем расточительным оказался метод плановой экономики, согласно которому сечения проводов нужно увеличивать в 4 раза.

Таким образом, сечения высоковольтных ВЛ следует по возможности увеличивать примерно в 2,5 раза, что явится важным шагом к энергосбережению в электроэнергетике.

Зависимость коэффициента приведения от нормативного индекса доходности инвестиций и нормы дисконта

Рисунок 4.

Зависимость коэффициента приведения от нормативного индекса доходности инвестиций и нормы дисконта

О «конспирологических версиях» на тему приведенных затрат

Широко распространенную в мировой практике целевую функцию (1), имеющую простую математическую модель оптимизации, периодически сопровождали различные субъективные версии, основанные на интуиции и произвольных толкованиях процесса оптимизации. Так, часто гиперболу затрат С(x) рассматривают вне связи с заданной прямой инвестиций К(х), и это вполне естественно рождает желание «экономить инвестиции», поскольку убывание гиперболы «замедляется».

Однако это расплывчатое стремление экономить государственные деньги вполне четко и определенно учтено самой моделью (1) в виде удельной стоимости параметра х – углом наклона прямой К(х) – рис. 1. Если у проектировщика есть подозрение, что эта стоимость занижена, ее следует соответственно корректировать, угол наклона прямой возрастет, и оптимальное значение х соответственно уменьшится.

Во‑вторых, кривую суммарных затрат З(х) столь же часто рассматривают также в отрыве от модели в целом. Делается упор на то, что изменение затрат З(х) в области хmin «незначительно», и вновь проступает желание экономить государственные средства путем отступления от точки минимума влево. Здесь расплывчатое понятие «незначительно» опять вступает в противоречие с математической строгостью вопроса.

Повторим еще раз: оптимальным решением задачи (1) является точка минимума затрат, а роль объективного фактора оптимизации играют цены (в частности, в виде величин к и b) и критерии эффективности инвестиций в виде коэффициентов приведения Ен, Енд и Еид. Другое дело, что в силу возможной дискретности значений параметра х приходится его «округлять» вправо или влево, но выбирать из этих двух вариантов следует тот, которому отвечают меньшие затраты, но не меньшие инвестиции.

Выводы

  • Применять срок окупаемости инвестиций в качестве нормативного показателя при определении оптимального варианта из числа технически равноценных нецелесообразно.
  • В качестве критерия эффективности дополнительных инвестиций рекомендуется использовать показатель ИД ≥ 1.
  • Понятие и функцию приведенных затрат следует рассматривать только как инструмент формального определения оптимального состояния инвестиционного процесса, не придавая им каких-либо дополнительных экономических характеристик.

Литература

  1. Веников В.А., Глазунов А.А., Жуков Л.А., Солдаткина Л.А. Электрические системы.Т. 2. Электрические сети. Под ред. В.А. Веникова.М. : Высшая школа, 1971. 440 с.
  2. Астахов Ю.Н., Веников В.А. и др. Электрические системы. Кибернетика электрических систем. Под ред. Веникова В. А. М. : Высшая школа, 1974. 328 с.
  3. Ковалев И.Н. Особенности оценки экономической эффективности долгосрочных инвестиций в энерго-сберегающие мероприятия // Энерго-сбережение.– 2013.– № 2.
  4. Ковалев И.Н. Умеренная инфляция – необходимое условие практической реализуемости энергосберегающей стратегии // Энерго-сбережение.– 2011.– № 8.
  5. Дмитриев А.Н., Ковалев И.Н., Табунщиков Ю.А., Шилкин Н.В. Руководство по оценке эффективности инвестиций в энергосберегающие мероприятия.М. : АВОК-ПРЕСС, 2005. 120 с.
  6. Ковалев И.Н. Непрерывная модель инвестиционного процесса при неопределенности исходной информации // Международная конференция «Новые технологии в управлении, бизнесе и праве», ИУБиП, Невинномысск, 2004.
  7. Ковалев И.Н., Осипов М.А. Об эко-но-мически целесообразных плотностях тока в линиях электропередачи энергосистем // Электричество.– 1999.– № 9.
  8. Ковалев И.Н. Оценка уровня перспективной себестоимости электроэнергии // Энергосбережение.– 2007.– № 6.
  9. Карзаев В.И., Ковалев И.Н. Нормализация тарифов в электроэнергетике как средство обеспечения инвестиционно-амортизационных ресурсов // Энергосбережение.– 2009.– № 9.
  10. Волков Э.П., Баринов В. А., Маневич А.С. Проблемы и перспективы развития электроэнергетики России.М. : Энергоатомиздат, 2001. 432 с.
купить online журнал подписаться на журнал
Поделиться статьей в социальных сетях:

Статья опубликована в журнале “Энергосбережение” за №6'2013

распечатать статью распечатать статью


Реклама
Реклама на нашем сайте
Rambler's Top100 Rambler's Top100 Яндекс цитирования



Кондиционирование, отопление, вентиляция

Подписка на журналы

АВОК
АВОК
Энергосбережение
Энергосбережение
Сантехника
Сантехника
Онлайн-словарь АВОК!


Реклама на нашем сайте